미분과 도함수에 대하여

해당 게시물은 "혁펜하임의 AI DEEP DIVE"를 수강하고 작성되었습니다.

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미분은 "순간 변화율" 이며 그래프에서는 "순간 기울기"이다.

 

$x=1$에서의 "순간 기울기" 라는 의미는 $x=1$에서 $x=0.999$ 사이의 기울기도,  $x=1$에서 $x=0.99999999$ 사이의 기울기도 아닌 $x$의 변화율을 $0$에 초 근접 시킬 때 즉, 극한의 의미로 접근해야 한다.

 

$x=1$에서 $x=\Delta x$ 까지의 기울기를 구하는데, $\Delta x$를 0에 초 근접(극한) 시키겠다는 것이다.

 

이를 수식으로 나타내면 $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$로 나타낼 수 있고, 이것이 $x=1$에서의 "순간 기울기", "순간 변화율", "미분값" 이다.

 

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위와 같은 방법으로 $y=2x^2$의 미분값을 구하면 $4x$가 나오는데, 이와 같이 함수 형태를 띄면 이를 "도함수"라고 부른다.

 

이를 간단히 $\frac{dy}{dx}$로 나타낼 수 있으며, $x=1$에서의 미분값은 $\frac{dy}{dx}|_{x=1}$과 같이 나타낸다.

 

논문에 간간히 등장하는 도함수의 성질은 아래와 같다.

• $e^x \Rightarrow e^x$
• $\lim x \Rightarrow \frac{1}{x}$
• $\log_2{x} \Rightarrow \frac{1}{\ln 2} \cdot{\frac{1}{x}}$
• $f(x)g(x) \Rightarrow f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x)$