테일러 급수

해당 게시물은 "혁펜하임의 AI DEEP DIVE"를 수강하고 작성되었습니다.

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테일러 급수란 임의의 함수, 예를 들어 $\cos x$를 다항함수로 나타내고자 사용하는 것이다.

 

Maclarin 급수는 $x=0$에서 임의의 함수를 가장 잘 표현할 수 있는 반면,테일러 급수는 가장 잘 표현하고 싶은 부분을 설정할 수 있다.

 

테일러 급수는 $f(x)=C_0+C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+C_3(x-a)^3+\cdots$ 와 같이 표현되며,

 

이때 다항식의 계수는 다음과 같다. $C_n=\frac{f^n(a)}{n!}$

 

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테일러 급수가 적용되지 않는 케이스가 있는데, 대표적으로 $\ln x$가 그렇다.

$\ln x=0+(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3+\cdots$로 나타내어 지는데, 뒤로 가면 갈수록 더해지는 값이 커진다. 

 

따라서 어느 기준값을 기준으로는 갈피를 잡지 못하게 된다.

 

그 구간은 다음과 같이 구할 수 있다. $\lim_{n \to \infty}|\frac{P_{n+1}}{P_n}|<1$ 을 만족하는 $x$영역에서만 그래프가 수렴하게 된다.